Aljabar linear
Dari Wikipedia bahasa Indonesia,
ensiklopedia bebas
Aljabar linear adalah bidang
studi matematika
yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta
transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat
dengan bidang aljabar linear.
Daftar
isi
|
Persamaan Linear & Matriks
Persamaan
linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
3x1 + 4x2
− 2 x3 = 5
x1 − 5x2 + 2x3
= 7
2x1 + x2
− 3x3 = 9
dapat
dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
Penyelesaian
persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara,
yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi
Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan
dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi
ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut
dengan substitusi balik.
Sebuah sisitem
persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
a11x1 + a12x2
+ ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2
+ ... + a2nxn = 0
am1x1 + am2x2
+ ... + amnxn = 0
Setiap sistem
persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem
mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn
= 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila
mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.
Matriks dapat
dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
1.) Di setiap baris, angka pertama
selain 0 harus 1 (leading 1).
2.) Jika ada baris yang semua elemennya
nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3.) Jika ada baris yang leading 1
maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading
1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading
1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris
tereduksi
Contoh: syarat
1: baris pertama disebut dengan leading 1
syarat 2: baris
ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
syarat 3: baris
pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
syarat 4:
matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi
Eliminasi Gauss adalah suatu
cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang
lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga
matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan
sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan
matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks
teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris,
lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel
tersebut.
Contoh:
Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan Nilai
x, y dan z
Jawab:
Bentuk
persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan
Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)
Maka
mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x + 2y + z = 6
y + z = 3
z = 3
Kemudian
lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z = 6
x + 0 + 3 = 6
x = 3
Jadi nilai dari
x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
Eliminasi
Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih
sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss
sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga
dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan
menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam
matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris
tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya
tanpa substitusi balik.
Contoh: Diketahui
persamaan linear
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5
Tentukan Nilai
x, y dan z
Jawab:
Bentuk
persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan
Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris
tereduksi)
Maka didapatkan
nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1
Dua buah
matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang
sama dan setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B
adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah
matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan
hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan
atau dikurangkan.
Jumlah dari k
buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap
elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k
sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang
diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k.
Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara
mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0.
Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
a.) A + B = B + A
b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k
, k = skalar
Hasil kali
matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat
dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij
= ai1 b1j + ai2 b2j
+ ... + aip bpj
JIka A dan B
matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut
balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A −
1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers
yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1. Jika tidak
ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika
matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
Apabila A dan B
adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB)
− 1 = B − 1A − 1
Contoh 1:
Matriks
A = dan B =
AB = = = I (matriks identitas)
BA = = = I (matriks identitas)
Maka dapat
dituliskan bahwa B = A − 1 (B Merupakan invers
dari A)
Contoh 2:
Matriks
A = dan B =
AB = =
BA = =
Karena AB ≠ BA
≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.
Contoh 3:
Matriks
A =
Tentukan Nilai
dari A-1
Jawab:
Contoh 4:
Matriks
A = , B = , AB =
Dengan
menggunakan rumus, maka didapatkan
, ,
Maka
=
Ini membuktikan
bahwa (AB) − 1 = B − 1A − 1
Yang dimaksud
dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen
dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi
baris.
Contoh:
Matriks
A = ditranspose menjadi AT =
Matriks
B = ditranspose menjadi BT =
Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:
1. ((A)T)T
= A
2. (A + B)T
= AT + BT dan (A − B)T
= AT − BT
3. (kA)T = kAT
dimana k adalah skalar
4. (AB)T = BTAT
Sebuah matriks
bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks
bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal.
Contoh :
secara umum
matriks n x n bisa ditulis sebagai
Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
D − 1=
DD − 1
= D − 1D = I
jika D adalah
matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
Dk=
Contoh :
A=
maka
A5=
Matriks
segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama
nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal
utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis
diagonal utama nol.
Matriks
segitiga
Matriks
segitiga bawah
Teorema
- Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
- Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
- Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
- Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Contoh :
Matriks
segitiga yang bisa di invers
A =
Inversnya
adalah
A − 1=
Matriks yang
tidak bisa di invers
B =
Matriks kotak A
disebut simetris jika A = AT
Contoh matriks
simetris
Teorema
- Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka
AT adalah
simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris (AB)T
= BTAT = BA
Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A − 1 adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa
A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = AT
maka :
(A −
1)T = (AT) − 1 = A −
1
Yang mana
membuktikan bahwa A − 1 adalah simetris.
Produk AAT dan ATA
(AAT)T
= (AT)TAT = AAT
dan (ATA)T = AT(AT)T
= ATA
Contoh
A adalah
matriks 2 X 3
A =
lalu
ATA = =
AAT = =
Jika A adalah
Matriks yang bisa di inverse, maka AAT dan ATA
juga bisa di inverse
Determinan
adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan
suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh,
kita ambil matriks A2x2
A = tentukan determinan A
untuk mencari
determinan matrik A maka,
detA = ad - bc
A = tentukan determinan A
Pertama buat
minor dari a11
M11 = = detM = a22a33 x a23a32
Kemudian
kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1M11
= (-1)1+1a22a33 x a23a32
kofaktor dan
minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan
apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat
matrik dibawah ini
Begitu juga
dengan minor dari a32
M32 = = detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor
dari a32 adalah
c32 = (-1)3+2M32
= (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara
keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
Misalkan ada
sebuah matriks A3x3
A =
maka determinan
dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11 - a12 + a13
= a11(a22a33
- a23a32) - a12(a21a33 -
a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33
+ a12a23a31 + a13a21a32
- a13a22a31 - a12a21a33
- a11a23a32
Contoh Soal:
A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor
baris pertama
Jawab:
det(A) = = 1 - 2 + 3 = 1(-3) -
2(-8) + 3(-7) = -8
Pada dasarnya
ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada
satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris,
kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi
pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada
sebuah matriks A3x3
A =
maka determinan
dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11 - a21 + a31
= a11(a22a33
- a23a32) - a21(a21a33 -
a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33
+ a21a23a31 + a31a21a32
- a22(a31)2 - (a21)2a33
- a11a23a32
Contoh Soal:
A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor
kolom pertama
Jawab:
det(A) = = 1 - 4 + 3 = 1(-3) -
4(-8) + 3(-7) = 8
Bila ada sebuah
matriks A3x3
A =
Kofaktor dari
matriks A adalah
C11 = -12 C12 = 6
C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23
= 16
C31 = 12 C32 =
-10 C33 = 16
maka matriks
yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
untuk mencari
adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris
menjadi kolom
adj(A) =
Jika A
adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau
segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks
tersebut
Contoh
= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296
jika Ax = b
adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka
persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
dimana A j
adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode
cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3
= 30
-x1 - 2x2 + 3x3
= 8
Jawab:
bentuk matrik A
dan b
A = b =
kemudian ganti
kolom j dengan matrik b
A1 = A2 = A3 =
dengan metode
sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
maka,
Pembuktian:
Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita
akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau
tidak nol: E1,E2,...,Er menjadi matrix
element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A.
Maka,
R=Er...E2 E1
A
dan,
det(R)=det(Er)...det(E2)det(E1)det(EA)
Jika A
dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka
R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0.
Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak
memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A
adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom
yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh
Soal :
A=
karena det(A)
= 0. Maka A adalah dapat diinvers.
A = tentukan determinan A
untuk mencari
determinan matrik A maka,
detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh +
ceg)
A =
kemudian hitung
kofaktor dari matrix A
C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21
= 4 C22 = 2 C23 = 16
C31
= 12 C32 = -10 C33 = 16
menjadi matrix
kofaktor
cari adjoint
dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehingga
menjadi
adj(A) =
dengan metode
Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
det(A) = 64
dalam sistem
aljabar linear sering ditemukan
Ax = λx ; dimana
λ adalah skalar
sistem linear
tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix
identitas menjadi
(λI - A) x = 0
contoh:
diketahui
persamaan linear
x1 + 3x2 = λx1
4x1 + 2x2 = λx2
dapat ditulis
dalam bentuk
= λ
yang kemudian
dapat diubah
A =dan x =
yang kemudian
dapat ditulis ulang menjadi
λ
λ
sehingga
didapat bentuk
λ I - A =
namun untuk
menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi
det (λ I - A) = 0
;λ adalah eigenvalue dari A
dan dari contoh
diperoleh
det (λ I - A) = = 0
atau λ^2 - 3λ -
10 = 0
dan dari hasil
faktorisasi di dapat λ1 = -2 dan λ2 = 5
dengan
memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector
bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh
dengan
mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t
x =
Vektor di dalam
n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup
topel adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an).
Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan
dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau
3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup
dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n
= 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa
dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada
set ini.
Mungkin kita
telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2,
a3) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini
bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2,
a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai
vector, dimana a1, a2, a3 merupakan komponen
vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2,
...., an) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau
“vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan
juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau
vector pada R5.
u1 = v1 u2 = v2
un = vn
Penjumlahan u +
v didefinisikan oleh
u + v = (u1 + v2, u2 + v2,
...., un + vn)
Dan jika k
adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh
ku = (k u1, k u2,...,k un)
Operasi dari
pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar
untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor
0 = (0, 0,...., 0)
Jika u = (u1,
u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif)
dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh
-u = (-u1, -u2, ...., -un)
Perbedaan dari
vector dalam Rn dijelaskan oleh
v – u = v + (-u)
atau, dalam
istilah komponen,
v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)
Sifat-sifat
dari vektor dalam Rn
jika , , dan adalah vektor
dalam Rn sedangkan k dan m adalah skalar,
maka :
(a) u + v
= v + u
(b) u + 0
= 0 + u = u
(c) u +
(v + w) = (u + v) + w
(d) u +
(-u) = 0 ; berarti, u - u = 0
(e) k (m
u) = (k m) u
(f) k (u
+ v) = k u + k v
(g) (k +
m) u = k u + m u
(h) 1u =
u
Perkalian dot
product didefinisikan
sebagai
- Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector y = (y1,y2,...,yn) dalam Rn dalam setiap y1,y2,....,yn adalah nilai yang terukur.
- Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel x = (x1,x2,...,x15) dalam setiap x1 adalah jumlah truk dalam depot pertama dan x2 adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.
- Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam R4 dan tegangan output bisa ditulis sebagaiR3. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input v = (v1,v2,v3,v4) dalam R4 ke vector keluaran w = (w1,w2,w3) dalamR3.
- Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v = (x,y,h,s,b) dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
- Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel s = (s1,s2,s3,...,s10) dalam setiap angka s1,s2,...,s10 adalah output dari sektor individual.
- Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalahx1,x2,...,x6 dan kecepatan mereka adalah v1,v2,...,v6. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector
V = (x1,x2,x3,x4,x5,x6,v1,v2,v3,v4,v5,v6,t)
Dalam R13. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel
pada waktu t.
- Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi
Menghitung
Panjang vektor u dalam ruang Rn
jika u =
(u1,u2,u3,...,un)
Maka Panjang vektor u
dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v
interpolasi
polinominal p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0
adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya
, kita mencari interpolasi titik dari data (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).
Jika kita
tuliskan P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
bentuk
equivalentnya : p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)2+p(x)=a1(x-x0)+a0
dari kondisi
interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo
, sehingga dapat kita tuliskan menjadi
p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0
inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita
dapatkan :
p(x0)=b0
p(x1)=b1h1+b0
p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0
p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+b0
sehingga jika
kita tuliskan dalam bentuk matrix:
Berdasarkan
operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor
dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x),
maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 =
-x = -x + 0y
x2 =
y = 0x + y
atau dalam
bentuk matrik :
Secara umum,
operator pada R2 dan R3 yang memetakan tiap vektor pada
gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan
operator refleksi. Operator ini bersifat linier.
Berdasarkan
operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor
dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x),
maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 =
x = x + 0y
x2 =
0 = 0x + y
atau dalam
bentuk matrik :
Persamaan
tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T
adalah:
Secara umum,
sebuah operator proyeksi pada R2 dan R3 merupakan
operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis
atau bidang melalui asalnya.
Sebuah operator
yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut ɵ disebut operator
rotasi pada R2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan
melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut
ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x),
dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah
jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos
Θ ; y = r cos Θ dan w1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w2= r
sin (ɵ + ɸ)
Menggunakan
identitas trigonometri didapat:
w1 =
r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ
w2 =
r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ
kemudian
disubtitusi sehingga:
w1 =
x cos Θ - y sin Θ
w2 =
x sin Θ + y cos Θ
Persamaan
diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga
bentuk matrik dari persamaan diatas adalah:
Dengan
menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di
titik (x0,y0)...., (xn,yn). Maka,
kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = amxm + am-1xm
− 1 + ... + a1x + a0 dari sudut minimum yang
melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi
karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini
=
Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):
= (1)
Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.
Contoh soal:
Cari
interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem
Vandermonde.
Jawab:
Bentuk Sistem
Vandermonde(1):
=
Untuk data di atas, kita mempunyai
=
Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination
Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama
Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3
Baris ke-3 dikurangi baris ke-2
Baris ke-4 dikurangi baris ke-2
Baris ke-4 dibagi dengan 2
Baris ke-4 dikurangi baris ke-3
Didapatkan
persamaan linier dari persamaan matrix di atas
Jadi, interpolasinya adalah
Tidak ada komentar:
Posting Komentar